系统动力学模型

系统动力学模型可以分析有反馈和相互依赖性的系统，也可以用于对于生态和经济、供应链和生产过程建模中。系统动力学模型提高了我们通过包含正反馈和负反馈的逻辑链进行思考的能力。系统动力学模型通常要包括源、汇、存量、流量、速率和常数等组成部分，源产生对系统的输入，汇吸收输入，存量跟踪变量的水平，流量刻画各存量水平之间的反馈，速率和常数用于流量，流量可以是随时间变化，也可以是不变的。

系统动力学模型的组成部分

任何一个系统动力学模型都由源、汇、存量和流量组成。源产生存量，存量是某个变量的数量或水平。流量描述了存量水平的变化，汇能够捕获来自存量的流量输出，存量水平会根据源和流量随时间推移而变化。例如，在一个关于游乐园的系统动力学模型中，公园中的人数（存量）会随着游客们（源）的到来而增加，而增加的速度可能又取决于其他参数，例如天气状况，广告投入和门票价格等。

系统动力学模型的表征系统如下图所示：

下图是一个简单的系统动力学模型，面包师制作面包，顾客购买面包，如果面包师生产面包的速度超过了顾客购买面包的速度，面包的库存就会增加，面包店将会堆满面包。如果卖出面包的速度超过了面包师生产面包的速度，面包店将永远处于卖光状态。

我们还可以再加入一个排队长度的存量，它等于面包店外等待的人数，再加入一个潜在客户的源，它会增加排队人数。排队人数适当，可能会吸引更多的顾客，而过长的排队长度也可能会让顾客流失。在这个模型中，面包师可以根据面包的存量和排队长度确定烘焙的最佳速度，我们也可以根据数据进行校准，估算出人们根据排队长度而加入排队队伍的速度。

捕食者-猎物模型

下面这个模型可以用来刻画猎物和捕食者之间关系，它包括两个正反馈：野兔生下野兔、狐狸生下狐狸。它还包括一个负反馈，狐狸吃野兔。随着狐狸数量的增加，野兔数量的减少，又会导致狐狸的数量减少。而随着狐狸数量的下降，野兔数量应该增加，进而产生更多的狐狸。

为了捕捉发生这种相互作用时吃野兔的狐狸的行为，假设狐狸的数量以某个恒定的速度乘以上述乘积的速度生长，同时野兔的数量则以某个恒定的速度乘以上述乘积的速度减少。由此可得到洛特卡-沃尔泰拉方程。

上图两个微分方程分别描述了野兔和狐狸的数量随时间而发生的变化，当方程等于零时，野兔和狐狸的数量不再改变，系统处于均衡状态。可能发生的第一个均衡是灭绝均衡，第二个是内点均衡，第一个均衡是指野兔和狐狸都不复存在，自然会产生均衡。第二个均衡中，狐狸和野兔的数量均为正，狐狸的数量随着野兔增长而增加，但是如果狐狸和野兔之间每次相遇都会导致野兔种群规模以更快速度减少的话，狐狸的数量就会减少。它表明，狐狸的均衡数量完全不依赖于狐狸的死亡率，如果狐狸以更快的速度死亡，野兔的均衡数量会增加，剩下的狐狸食物会更加丰富，而这就意味着狐狸的增长速度会增快，所以最终狐狸的快速增长速度抵消了狐狸的死亡率。

WORLD3模型

WORLD3模型包括了在一个共同的框架内以不同速度增长的多个彼此互动的过程，决策者可以利用它看到各种各样的相互依赖关系。这个模型假设，人口和经济产出每年以某个不变的百分比增长，但是经济产出会造成污染，随着时间的推移，土地的生产力下降，人口规模将超过经济提供商品的能力限度，那时世界经济就会崩溃。

这个模型包含了大约150个变量、300个方程和500个参数，生育率、经济增长率和土地使用率等都包括在内，要校准这个模型模型，必须根据数据估算出这些参数的增长率，这个模型还包括了变量之间的相互作用，这意味着多个参数的变化通常会产生非线性效应，因此，检验模型需要不断尝试同时更改两个变量、三个变量的多种组合。这个模型预测，2100年全世界人口将会减少到40亿。

随着时间的推移，这个模型的预测变得不那么准确了，原因是随着人口的增长，人口增长率已经放缓，它们不在符合模型的假设，但是这个模型也会使人们认识到人口过剩问题的严重性和环境的重要性。

小结

系统动力学模型可以包含许多变量，也可以包含这些变量之间任何类型的反馈，它可以使用存量来描述流量之间的关系。系统动力学模型和马尔可夫模型的区别在于，它不一定会达到均衡。系统动力学模型阐明了负反馈回路会怎样干预政策的效果，它最大的价值在于能够帮助我们深入思考自己行动的影响，我们通常都能够考虑到直接的影响，但是并不一定会考虑间接影响，通过模型可以辅助我们对这些模糊的问题进行深入的思考。