非线性模型

与线性相比，非线性更接近客观事物性质本身，是量化研究认识复杂知识的重要方法之一。线性关系是互不相干的独立关系，而非线性则是相互作用，而正是这种相互作用，使得整体不再是简单地等于部分之和，而可能出现不同于"线性叠加"的增益或亏损。非线性函数可以向下或向上弯曲，可以形成S形，可以扭结、跳跃和波动，非线性模型基于凸性和凹性的模型进行讨论。

凸函数

凸函数的斜率是递增的，即函数值随度量值的增加而增加。例如，在一个人群中，可能结成对的数量是这个群体人数的凸函数，一组3人可以结成3个不同的对，一组4人可以结成6个不同的对，一组5人可以结成10个不同的对。群体规模每增大一些，就会导致结对是数量有更大的增加。

凸函数是一个指数增长模型，它描述的是一个变量的数量，与它的初始值、增长率和周期数之间的函数关系。指数增长模型是一个典型的凸函数，在指数增长模型中假设时间t的资源值为Vt，其初始值为V0，它以速率R保持增长，固可以写成下述公式：

如果一个变量在每个周期内以固定R（增长率小于15%）的百分比增长，那么根据推导，翻倍所需的周期数约为72/R。这个推导被称为72法则，它量化了最高增长率的累积效应。假设某项目最初投资金额为100万元，复息年利率9%，利用“72法则”，将72除以9（增长率），即需约8年时间，投资金额滚存至200万元（两倍于100万元）。

具有正斜率的凸函数会以递增的值增加，但是最初具有较大负斜率的凸函数将逐渐走平，半衰期模型就是这样，它可以用作分解、折旧和遗忘的计算。在半衰期模型中，每H周期，数量就会衰减一半，我们把H称为该过程的半衰期。对于某些物理过程，半衰期是恒定的。半衰期的公式为：

假设世界上分布着1000个原子，每个原子每过1秒都有50%的概率衰变，那么：1秒后：衰变了接近500个原子，还剩500个原子。2秒后：还剩250个原子。3秒后：还剩125个原子。以此类推，1秒就是这个原子的半衰期。

对于某些物理过程，半衰期是恒定的。所有有机物都包含两种形式的碳：不稳定的同位素碳-14，以及稳定的同位素碳-12。在活的有机物中，这些同位素是以固定比例存在的。当有机体死亡后，体内的碳-14开始分解，其半衰期为5734年，碳-12的数量则不会改变。美国物理化学家威拉德·利比意识到，通过测量碳-14与碳-12的比例，就可以估计化石或人工制品的“年龄”，这种技术被称为放射性碳年代测定法。

凹函数

凹函数的斜率是递减的，具有正斜率的凹函数会呈现收益递减的特点，当我们拥有的东西越来越多时，每个额外的东西所能带来的价值会越来越少。几乎所有商品的价值都呈递减趋势，我们对任何事物的消费越多，我们就越不会觉得享受，同时可能愿意为它付出的代价也就越少。

凹函数的一个典型是经济增长模型，其产出取决于劳动和实物资本。假设保持固定资本，随着投入的劳动力增加，劳动力的价值应该变得越来越低，同样，在保持工人数量不变的情况下，添加更多的机器或计算机会增加更少的价值。在柯布道格拉斯模型中，给定L个工人和K个单位资本，总产出如下图公式所示，其中a是介于0到1之间的实数，表示劳动力的相对重要性：

假设有这样一种特例：经济体中有10000名工人，这个经济体会生产一种能量，这种能量需要用某种机器开采，而机器也是用这种能量生成出来的。在这个简化模型中，我们可以把生产函数写为工人数量的平方根乘以机器数量的平方根，如果经济体中只有一台机器，那么产量就是100吨，如果人们消费掉了所有100吨能量，就不能投资制造新机器了，这样明年的产量就会保持不变，经济也不会增长。如果投资1吨能量，制造第2台机器，产量将增加到141吨，增长率为41%，如果制造了3台机器，产量降增加到173吨，通过不断投资，经济增长率会不断下降，因此产出是一个凹函数。

我们看到了投资推动成长，现在再构建一个包含投资规则的模型，假设投资等于存储率乘以产出，机器会按某个不变的折旧率折旧。这个模型可以由下图的3个方程组成：

假设这个经济体有100台机器，储蓄率为20%，折旧率为10%，产量为1000吨，消费等于800吨，新投资200台机器，每年因折旧而损失的机器有10台，通过类似的计算可知，在第2年，产出将增长为1702吨，第3年产出为近2500吨，由此可见，前3年产出以递增的速度在增长，这种凸性特征因为机器初始数量很少而出现。随着时间的推移，机器数量的增加和折旧就会变得非常重要，从长远看，产出的增长会在某一节点完全停止。在经济的长期均衡中，当经济体拥有40000台机器，并生产20000吨能量时，投资的新机器数量会等于折旧机器的数量。

我们可以再改造一下参数，我们用实物资本取代机器，并将劳动力视为一个变量，另外再添加一个技术参数，让它可以线性的增加产出，创新会使这个参数增大。在这个模型中，当投资等于折旧时，长期均衡就会出现，不过在这里，均衡时的产出水平取决于劳动力数量和技术参数，以及存储率和折旧率。这个模型中L表示劳动量，K表示实物资本量，A表示技术水平，长期均衡产出为：：

长期均衡产出随劳动数量的增加、技术的进步、储蓄率的提高而增加，同时随折旧率的上升而下降。更多的工人，更先进的技术和更多的储蓄可以增加产出，更快的折旧会减少产出。随着劳动力数量的增加，产出和投资都会增加，进而带来更高的产出，从长远看，投资的正反馈可以抵消收益递减。长期均衡产出也会随着技术改进而增加，在这个模型中如果 一个长期均衡的经济体，技术参数提高50%，那么产出将会增加50%，投资也会增加50%，然后投资超过了折旧，经济继续增长，长此以往经济也会一路增长50%。在这个计算过程中揭示了创新乘数的存在，创新有两个效应，一个是可以直接增加产出，一个是可以间接导致更多成本投资，从而致使产出增加。

小结

我们之所以要构建非线性模型，是因为我们生活中的现象很少是线性的，一旦有非线性的存在，我们的直觉就不够用了，直觉可以让我们推断出影响产出上升和下降的内容，但是缺乏对功能关系形式的理解。在非线性模型的帮助下，我们可以更好的思考非线性效应。